|
11. Устойчивость внецентренно сжатых э-тов.
При приложении сжимающей силы с эксцентриситетом стержень работает как внецентренно сжатый. При одновременном приложении продольной осевой силы и поперечной нагрузки, вызывающей изгиб, стержень будет сжато-изгибаемым. В целях упрощения практических методов расчета (в небольшой запас) сжато-изгибаемые стержни при рассмотрении критического состояния потери устойчивости приравниваются к внецентренно сжатым, имеющим эксцентриситет e=M/N.Даже при осевом приложении нагрузки всегда имеются случайные эксцентриситеты, и поэтому работа центрально сжатых стержней является по существу работой сжатых стержней с малыми эксцентриситетами. Работа же внецентренно сжатых стержней с большими или малыми эксцентриситетами не имеет принципиальных отличий; только большие значения эксцентриситетов и моментов сказываются на работе внецентренно сжатых стоек более ярко, процесс же потери устойчивости остается тождественным.
При внецентренном сжатии с самого начала приложения нагрузки помимо продольной деформации возникает изгиб стержня (рис. 3.19,а).
Рис3.19а — расчетная схема;
Поэтому расчет таких стержней следует проводить по деформированной схеме. На рис. 3.19,б показана зависимость между сжимающей силой N и стрелкой прогиба стержня v. Восходящая ветвь диаграммы характеризует устойчивое состояние стержня, нисходящая — неустойчивое, а несущая способность равна максимальному значению сжимающей силы Nu, которая может быть воспринята стержнем.
Рис3.19 б— кривая состояния равновесия,
При определении критической (предельной) силы Nu принимаются следующие основные предпосылки:
перемещения считаются достаточно малыми, что позволяет использовать приближенное выражение для кривизны изогнутой оси
 (1)
относительные деформации в поперечном сечении е следуют гипотезе плоских сечений (рис. 3.19, в)
Рис3.19 в — эпюра деформаций в сечении; г — эпюра напряжений;
 (2)
связь между нормальными напряжениями
 (3)
в процессе возрастания нагрузки и в момент потери устойчивости влияние разгрузки не учитывается, т. е. Рассматривается нелинейно упругий материал (см. рис. 3.16, в и 3.19,б) как в условиях догрузки, так и разгрузки. Для определения предельной нагрузки Nu применим метод бесконечно малых возмущений в окрестностях состояний равновесия стержня. Для этого рассмотрим некоторое исходное состояние равновесия в точке А (см. рис. 3.19,б). Условия равновесия внешних и внутренних сил и изгибающих моментов в сечениях стержня имеют вид  (4)
 (5)
Наряду с этим рассмотрим другое состояние равновесия в точке А1 отличающееся от исходного на бесконечно малую величину перемещения
 (6)
Вычитая почленно из уравнений (6) уравнения (5) с точностью до бесконечно малых второго порядка, получим условия равновесия для бесконечно малых приращений:
 (7)
Полученные зависимости (7) справедливы для любой точки кривой состояний равновесия ОМВ (см. рис. 3.19,б). Практический интерес представляет решение этих уравнений для точки М максимума кривой ОМВ. В бесконечно малой окрестности точки М сжимающая сила постоянна, в связи, с чем имеем
 (8)
Из диаграммы работы материала
 (9)
где Еt — касательный модуль для диаграммы работы материала стержня.
Рис3.19 д- диаграмма работы материала.
С учетом (2) находим
 (10)
Подставляя
 (11) 'а
Определяя из первого уравнения системы (11) величину
 (12)
где It — момент инерции приведенного с учетом касательного модуля сечения относительно его собственной центральной оси. При решении практических задач форма изогнутой оси обычно принимается по полуволне синусоиды (см. рис. 3.19, а)
 (13)
В этом случае условия равновесия до-статочно рассмотреть только в наиболее напряженном (срединном) сечении стержня. При этом из решения уравнения (12) с учетом (13) находим
 (14)
Для определения приведенной жесткости стержня Elt необходимо знать эпюру напряжений в наиболее нагруженном сечении стержня. Зависимость (3.45) можно записать в виде
где Еs - секущий модуль (см. рис. 3.19,д).Тогда, рассматривая систему (4) с учетом (3) получим дифференциальное уравнение изгиба внецентренно сжатого стержня
 (16)
где /ef = М/E
 (17)
Проверка устойчивости элементов постоянного сечения в плоскости действия момента, совпадающей с плоскостью симметрии (изгибная форма потери устойчивости), производится по формуле
. где
 и приведенного эксцентриситета m1, определяемого по формуле
m1=
где
Коэффициент влияния формы сечения учитывает степень ослабления сечения при потере устойчивости пластическими деформациями. При сжатии двутаврового сечения с эксцентриситетом в плоскости стенки (рис. 3.21, а) текучесть быстро распространяется по толщине полки и сечение превращается в тавровое. Резкое ослабление сечения в этом случае учитывается коэффициентом
Рис. 3.21. Распространение пластических деформаций в двутавровом сечении а — при эксцентриситете в плоскости стенки; б — при эксцентриситете перпендикулярно стенке.
Для прямоугольного сечения
где
; с — коэффициент, учитывающий изгибно-крутильную форму потери устойчивости и зависящий от относительного эксцентриситета и формы сечения.
|
Научная литература